Lernauftrag 3: Kenngrößen berechnen mit Lösungen
Hier findest du die Aufgaben ohne Lösungen.
Aufgabe 1
Berechne die Periodendauer \(T\) der Wechselspannungen mit folgenden Frequenzen \(f\):
1) \(f=50\ Hz\)
2) \(f=60\ Hz\)
3) \(f=16\frac23\ Hz\)
Zu verwendende Formel
\(T=\frac 1f\)
Damit ergibt sich als Lösungen:
1) \(20\ ms\)
2) \(16,6\ ms\)
3) \(60\ ms\)
Aufgabe 2
Berechne die Frequenzen \(f\) der Wechselspannungen mit folgenden Periodendauern \(T\):
1) \(T=1\ ms\)
2) \(T=1500\ \mu s\)
3) \(T=300\ \mu s\)
Zu verwendende Formel
\(T=\frac 1f \Leftrightarrow f=\frac 1T\)
Damit ergibt sich als Lösungen
1) \(1000\ Hz\)
2) \(666,\overline 6\ Hz\)
3) \(3333,\overline3\ Hz\)
Zusatzaufgabe
Die Periodendauer einer Sinusspannung beträgt \(T=1,92\ ms\). Zum Zeitpunkt \(t_1=0\ ms\) beträgt die Spannung \(0\ V\) und zum Zeitpunkt \(t_2=0,38\ ms\) beträgt die Spannung \(60\ V\).
Berechne die Frequenz der Wechselspannung und den Augenblickswert zum Zeitpunkt \(t=0,29\ ms\).
Lösung
geg:
\(T=1,92\ ms\)
\(u(0\ ms)=0\ V\)
\(u(0,38\ ms)=60\ V\)
ges: \(f, u(0,29\ ms)\)
Lös:
\(f=\frac{1}{T}=\frac{1}{1,92\ ms}=\frac{1}{1,92\cdot10^{-3}\ s}=\frac{10^3}{1,92}\frac{1}{s}=521\ Hz\)
Allgemeine Darstellung einer Sinusfunktion:
\(u(t) = \hat u\cdot sin(\omega\cdot t + \varphi_0)\)
Hierbei ist \(\hat u\) die Spitzenspannung, \(\omega\) die Kreisfrequenz und \(\varphi_0\) der Verschiebungwinkel.
Da bei \(t_1=0\) die Spannung \(0\ V\) beträgt ist die Verschiebungswinkel \(\varphi_0=0\), denn die Sinusfunktion geht genau durch 0\ V zum Zeitpunkt \(0\ ms\).
Die Kreisfrequenz ersetzen wir durch \(\omega=2\cdot\pi\cdot f\) und vereinfachen die allgemeine Darstellung zu
\(u(t) = \hat u\cdot sin(2\cdot\pi\cdot f\cdot t)\)
Da wir ungern mit Bogenmaß rechnen (am \(\pi\) im Sinus zu erkennen) ersetzen wir \(2\pi\), was einem ganzen Kreis entspricht mit \(360\degree\), was ebenfalls einem ganzen Kreis im Gradmaß entspricht. Wir erhalten:
\(u(t) = \hat u\cdot sin(360\degree\cdot f\cdot t)\)
Die Frequenz \(f\) kennen wir, die Zeit \(t\) kennen wir. Um fertig zu werden benötigen wir noch den Spitzenwert \(\hat u\). Zum Zeitpunkt \(0,38\ ms\) kennen wir eine Spannung und können das in die Form einsetzen
\(u(0,38\ ms)=\hat u\cdot\sin(360\degree\cdot 521\ Hz\cdot 0,38\ ms)=60\ V\)
Das stellen wir auf \(\hat u\) um und erhalten
\(\hat u=\frac{60\ V}{\sin(360\degree\cdot 521\ Hz\cdot 0,38\ ms)}=63\ V\)
Als Beschreibung der Sinusfunktion erhalten wir:
\(u(t)=63\ V\cdot\sin(360\degree\cdot 521\ Hz\cdot t)\)
Mit der fertigen Funktion können wir die Zeit \(0,29\ ms\) einsetzen und die gesuchte Spannung ermitteln:
\(u(0,29\ ms)=63\ V\cdot\sin(360\degree\cdot 521\ Hz\cdot 0,29\ ms)=51,2\ V\)